×
Permutasie

'n Permutasie is 'n rangskikking van voorwerpe in 'n sekere/spesifieke orde (anders as 'n kombinasie). Met ander woorde permutasies is geordende rangskikkings. Kyk ook kombinasies.

Die 6 moontlike permutasies van 3 voorwerpe.

Die hoeveelheid maniere om k items in die regte volgorde te kies uit 'n stel van n items is:

n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n k + 1 ) {\displaystyle n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)}

wat nul is wanneerk > n, anders is dit ook gelyk aan:

n ! ( n k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}

In MS Excel is: = PERMUT ( n , k ) = n ! ( n k ) ! {\displaystyle ={\text{PERMUT}}(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}}

LW: Hierdie geld slegs wanneer unieke items gekies word uit 'n eindige stel. Dus, indien die item gekies is, dan is dit nie meer beskikbaar om weer gekies te word nie. Wanneer dieselfde items weer en weer gekies kan word, is die aantal permutasies bloot nx, waar x die aantal raaiskote is (kyk aap-voorbeeld hier onder).

Inhoud

Wat is die waarskynlikheid dat die letters A, B, C en D ewekansig in die volgorde B, C, D, A gerangskik sal word?

Antwoord:

Opsie 1:

Met die eerste raaiskoot, moet jy uit 4 letters kies, met die tweede raaiskoot uit 3, met die 3de raaiskoot uit 2 en die laaste een is nie 'n raaiskoot nie. Dus is die aantal permutasies = 4×3×2×1 = 4! = 24.

Die waarskynlikheid om die eerste een reg te raai is 1/4. Die waarskynlikheid om die tweede een reg te raai is 1/3. Vir die derde letter is dit 1/2 en vir die laaste een is dit 1/1.

Die kans om almal reg te raai is dus: 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1/1 = 1/24 = 0.0416667

of:

Letters 1 2 3 4 Totaal
Kans om reg te raai 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} 1 24 = 0.041667 {\displaystyle {\frac {1}{24}}=0.041667}

Opsie 2:

Alternatiewelik is n = 4 en k = 4. Dus is die aantal permutasies:

n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 4×3×...×(4-4+1) = 4×3×....×1 = 24.

Opsie 3:

n ! ( n k ) ! = 4 ! 0 ! = 24 {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}={\frac {4!}{0!}}=24}

Die waarskynlikheid dat dit sal gebeur is dus 1/24 = 0.04166667 = 4.17%

As ek 'n aap voor 'n telefoon sit, wat is die kans dat die aap die getalle 2, 4, 6, 8, 0 in hierdie volgorde sal kies?

Antwoord:

Aanvaar dat die aap slegs die getalle 0 tot 9 op die telefoon sal druk en dat wat hy druk, heeltemal ewekansig is.

Met elke druk van 'n knoppie kan die aap dus 1 uit enige van 10 getalle kies. Dus kan een item meer as een keer gekies word en dus is die hoeveelheid kombinasies: 10×10×10×10×10 = 105

Dus is die waarskynlikheid dat dit sal gebeur = 1/105 = 0.001%

Terloops, as die aap die getalle in enige volgorde kon kies, dan is die waarskynlikheid:

5 10 × 4 10 × 3 10 × 2 10 × 1 10 = 5 ! 10 5 = 0.0012 = 0.12 % {\displaystyle {5 \over 10}\times {4 \over 10}\times {3 \over 10}\times {2 \over 10}\times {1 \over 10}={5! \over 10^{5}}=0.0012=0.12\%}

Of dit is die permutasie gedeel deur 5! Dus is die aantal verskillende kombinasies 105/5! = 833.3 en die waarskynlikheid is 1/(105/5!) = 5!/105 = 0.0012 = 0.12%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, in hierdie volgorde, eerste by jou sal opdaag?

Omdat die volgorde belangrik is, werk ons met 'n permutasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Eerste beginsels

Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024

Opsie 2: Gebruik die formule vir permutasies

n = 9 en k = 4:

Aantal permutasies = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 9×8×...×(9-4+1) = 9×8×7×6 = 3024

Opsie 3: Gebruik die alternatiewe formule vir permutasies.

n ! ( n k ) ! = 9 ! ( 9 4 ) ! = 9 ! 5 ! = 3024 {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}={\frac {9!}{(9-4)!}}={\frac {9!}{5!}}=3024}

Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1/3024 = 0.003307 = 0.33%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, eerste by jou sal opdaag, maar nie noodwendig in hierdie volgorde nie?

Omdat die volgorde nie belangrik is nie, werk ons met 'n kombinasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Gebruik die formule vir kombinasies.

n = 9 en k = 4:

Aantal kombinasies = n ! k ! ( n k ) ! = 9 ! 4 ! 5 ! = 126 {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {9!}{4!5!}}=126}

Opsie 2: Bepaal die aantal permutasies en deel deur 4!

Permutasies: Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024. Die vier vriende kan egter op 4! verskillende maniere by my aankom, dus is die aantal kombinasies 3024/4! = 126

Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1/126 = 0.007937 = 0.794%

Opsie 3: Moet nooit aanvaar dat die volgorde belangrik is nie.

Dus is die waarskynlikheid dat een van die vier vriende eerste opdaag 4/9, die waarskynlikheid dat een van die 3 oorblywende vriende tweede gaan opdaag is dus 3/8 ens. Dus is die waarskynlikheid:

4 9 × 3 8 × 2 7 × 1 6 = 4 ! 9 ! × 5 ! 1 = 0.007937 = 0.794 % {\displaystyle {4 \over 9}\times {3 \over 8}\times {2 \over 7}\times {1 \over 6}={4! \over 9!}\times {5! \over 1}=0.007937=0.794\%}
  1. Kyk Fakulteit.

Publikasie datum: September 26, 2021

permutasie, rangskikking, voorwerpe, sekere, spesifieke, orde, anders, kombinasie, ander, woorde, permutasies, geordende, rangskikkings, kombinasies, moontlike, permutasies, voorwerpe, hoeveelheid, maniere, items, regte, volgorde, kies, stel, items, displaysty. n Permutasie is n rangskikking van voorwerpe in n sekere spesifieke orde anders as n kombinasie Met ander woorde permutasies is geordende rangskikkings Kyk ook kombinasies Die 6 moontlike permutasies van 3 voorwerpe Die hoeveelheid maniere om k items in die regte volgorde te kies uit n stel van n items is n n 1 n 2 n k 1 displaystyle n cdot n 1 cdot n 2 cdots n k 1 wat nul is wanneer k gt n anders is dit ook gelyk aan n n k displaystyle frac n n k In MS Excel is PERMUT n k n n k displaystyle text PERMUT n k frac n n k LW Hierdie geld slegs wanneer unieke items gekies word uit n eindige stel Dus indien die item gekies is dan is dit nie meer beskikbaar om weer gekies te word nie Wanneer dieselfde items weer en weer gekies kan word is die aantal permutasies bloot nx waar x die aantal raaiskote is kyk aap voorbeeld hier onder Inhoud 1 Voorbeelde 1 1 Wat is die waarskynlikheid dat die letters A B C en D ewekansig in die volgorde B C D A gerangskik sal word 1 2 As ek n aap voor n telefoon sit wat is die kans dat die aap die getalle 2 4 6 8 0 in hierdie volgorde sal kies 1 3 As 9 vriende vir jou kom kuier wat is die waarskynlikheid dat Ben Koos Gert en Jan in hierdie volgorde eerste by jou sal opdaag 1 4 As 9 vriende vir jou kom kuier wat is die waarskynlikheid dat Ben Koos Gert en Jan eerste by jou sal opdaag maar nie noodwendig in hierdie volgorde nie 2 Kyk ook 3 VoetnotasVoorbeelde WysigWat is die waarskynlikheid dat die letters A B C en D ewekansig in die volgorde B C D A gerangskik sal word Wysig Antwoord Opsie 1 Met die eerste raaiskoot moet jy uit 4 letters kies met die tweede raaiskoot uit 3 met die 3de raaiskoot uit 2 en die laaste een is nie n raaiskoot nie Dus is die aantal permutasies 4 3 2 1 4 1 24 Die waarskynlikheid om die eerste een reg te raai is 1 4 Die waarskynlikheid om die tweede een reg te raai is 1 3 Vir die derde letter is dit 1 2 en vir die laaste een is dit 1 1 Die kans om almal reg te raai is dus 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 1 1 24 0 0416667 of Letters 1 2 3 4 TotaalKans om reg te raai 1 4 displaystyle frac 1 4 1 3 displaystyle frac 1 3 1 2 displaystyle frac 1 2 1 1 displaystyle frac 1 1 1 24 0 041667 displaystyle frac 1 24 0 041667 Opsie 2 Alternatiewelik is n 4 en k 4 Dus is die aantal permutasies n n 1 n 2 n k 1 4 3 4 4 1 4 3 1 24 Opsie 3 n n k 4 0 24 displaystyle frac n n k frac 4 0 24 Die waarskynlikheid dat dit sal gebeur is dus 1 24 0 04166667 4 17 As ek n aap voor n telefoon sit wat is die kans dat die aap die getalle 2 4 6 8 0 in hierdie volgorde sal kies Wysig Antwoord Aanvaar dat die aap slegs die getalle 0 tot 9 op die telefoon sal druk en dat wat hy druk heeltemal ewekansig is Met elke druk van n knoppie kan die aap dus 1 uit enige van 10 getalle kies Dus kan een item meer as een keer gekies word en dus is die hoeveelheid kombinasies 10 10 10 10 10 105 Dus is die waarskynlikheid dat dit sal gebeur 1 105 0 001 Terloops as die aap die getalle in enige volgorde kon kies dan is die waarskynlikheid 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 5 10 5 0 0012 0 12 displaystyle 5 over 10 times 4 over 10 times 3 over 10 times 2 over 10 times 1 over 10 5 over 10 5 0 0012 0 12 Of dit is die permutasie gedeel deur 5 Dus is die aantal verskillende kombinasies 105 5 833 3 en die waarskynlikheid is 1 105 5 5 105 0 0012 0 12 As 9 vriende vir jou kom kuier wat is die waarskynlikheid dat Ben Koos Gert en Jan in hierdie volgorde eerste by jou sal opdaag Wysig Omdat die volgorde belangrik is werk ons met n permutasie Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie Opsie 1 Eerste beginsels Die eerste vriend kan een van 9 wees die tweede een van 8 ens Dus is die aantal moontlike permutasies 9 8 7 6 3024 Opsie 2 Gebruik die formule vir permutasies n 9 en k 4 Aantal permutasies n n 1 n 2 n k 1 9 8 9 4 1 9 8 7 6 3024 Opsie 3 Gebruik die alternatiewe formule vir permutasies n n k 9 9 4 9 5 3024 displaystyle frac n n k frac 9 9 4 frac 9 5 3024 Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1 3024 0 003307 0 33 As 9 vriende vir jou kom kuier wat is die waarskynlikheid dat Ben Koos Gert en Jan eerste by jou sal opdaag maar nie noodwendig in hierdie volgorde nie Wysig Omdat die volgorde nie belangrik is nie werk ons met n kombinasie Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie Opsie 1 Gebruik die formule vir kombinasies n 9 en k 4 Aantal kombinasies n k n k 9 4 5 126 displaystyle frac n k n k frac 9 4 5 126 Opsie 2 Bepaal die aantal permutasies en deel deur 4 Permutasies Die eerste vriend kan een van 9 wees die tweede een van 8 ens Dus is die aantal moontlike permutasies 9 8 7 6 3024 Die vier vriende kan egter op 4 verskillende maniere by my aankom dus is die aantal kombinasies 3024 4 126 Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1 126 0 007937 0 794 Opsie 3 Moet nooit aanvaar dat die volgorde belangrik is nie Dus is die waarskynlikheid dat een van die vier vriende eerste opdaag 4 9 die waarskynlikheid dat een van die 3 oorblywende vriende tweede gaan opdaag is dus 3 8 ens Dus is die waarskynlikheid 4 9 3 8 2 7 1 6 4 9 5 1 0 007937 0 794 displaystyle 4 over 9 times 3 over 8 times 2 over 7 times 1 over 6 4 over 9 times 5 over 1 0 007937 0 794 Kyk ook WysigKombinasie WaarskynlikheidVoetnotas WysigWikimedia Commons bevat media in verband met Permutations Kyk Fakulteit Ontsluit van https af wikipedia org w index php title Permutasie amp ol,