×
Cartesiese koördinatestelsel

In wiskunde word die Cartesiese koördinatestelsel gebruik om elke punt in 'n vlak uniek te bepaal deur twee getalle, gewoonlik die x-koördinaat en die y-koördinaat van die punt. Om die koördinate te definieer word twee gerigte lyne loodreg met mekaar (die x-as of abscissa en die y-as of ordinaat), sowel as die eenheid-lengte, wat op die twee asse gemerk word (sien Figuur 1), gespesifiseer. Cartesiese koördinatestelsels word ook in ruimte (waar drie koördinate gebruik word) en in hoër dimensies.

Fig. 1 - Cartesiese koördinatestelsel. Vierr punte word aangedui: (2,3) in groen, (-3,1) in rooi, (-1.5,-2.5) in blou en (0,0), die oorsprong, in pers.

Deur die Cartesiese koördinatestelsel te gebruik kan meetkundige vroms (soos krommes) deur algebraïese vergelykings wat die koördinate van die punte op die vorm bevredig, beskryf word. Die sirkel met radius 2 kan beskryf word deur die vergelyking x² + y² = 4 (sien Figuur 2).

Cartesiese verwys na die Franse wiskundige en filosoof René Descartes (latyns: Cartesius), wat, onder andere, werk gedoen het om algebra en Euklidiese meetkunde saam te smelt. Die werk was belangrik in die ontwikkeling van analitiese meetkunde, analise, en kartografie.

Die idee vir die stelsel is in in 1637 in twee geskrifte deur Descartes ontwikkel. In deel twee van sy Discours de la méthode die nuwe idee ingevoer waarvolgens die posisie van 'n punt of voorwerp op 'n oppervlak gespesifiseer word deur twee asse wat mekaar sny as meetgidse te gebruik. In La Géométrie het hy die konsepte verder ontwikkel.

Fig. 2 - Cartesiese koördinatestelsel met die sirkel van radius 2 met die middelpunt by die oorsprong in rooi aangedui. Die vergelyking van die sirkel is x² + y² = 4.

Die snydingspunt, waar die asse ontmoet, word die oorsprong gewoonlik aangedui as O, genoem.

Die x-as is die horisontale as wat gewoonlik na regs georiënteer is. In driedimensies word die x-, y-, en z-asse gewoonlik gerangskik om 'n regterhandse koördinaatslesel te vorm.

In Fisika en Sterrekunde word dié as soms die abscissa genoem. Die term word egter meer algemeen gebruik om na die koördinate langs die x-as te verwys.

Die x-en y-asse definieer 'n vlak wat die xy vlak genoem word. Gegee elke as, kies 'n eenheiids lengte en merk elke eenheid op die as om 'n rooster te vorm. Om 'n besondere punt te spesifiseer in 'n tweedimensionele koördinatestelsel, dui die x eenheid eerste aan (abscissa), gevolg deur die y eenheid (ordinaat) in die vorm (x,y), 'n geordende paar.

Fig. 3 - Die vier kwadrante van 'n Cartesiese koördinatestelsel. Die pyle op die asse dui aan dat dit vir ewig uitstrek in hulle onderskydelike rigtings (i.e. oneindiglik).

Die keuse van letters kom van 'n konvensie, om die einde van die alfabet te gebruik om onbekende waardes aan te dui. In teenstelling hiermee word die begin van die alfabet gebruik om bekende waardes aan te dui.

'n Voorbeeld van 'n punt P op die stelsel word in Figuur 3 aangedui deur die koördinate (3,5) te gebruik.

Die snyding van die twee asse skep vier gebeide wat kwadrante genoem word, aangedui deur die Romeinse syfers I, II, III, en IV. Volgens konfensie word die kwadrante anti-kloksgewys gemerk deur by die regter boonste ("noordoos") kwadrant te begin. In die eerste kwadrant, is beide koördinate positief, in die tweede kwadrant x-koördinate negatief en y-koördinate positief, in die derde kwadrant is beide koördinate negatief en ins die vierde kwadrant is x-koördinate positief en y-koördinate negatief (kyk onderstaande tabel.)

Kwadrant x-waardes y-waardes
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0


Die driedimensionele koördinatestelsel verskaf die drie fisiese dimensies van ruimte — hoogte, wydte, en lengte. Figure 4 en 5, onder, wys twee algemene maniere om die driedimensionele koördinatestelsel voor te stel.

Die koördinate in 'n driedimensionele stelsel het die vorm (x,y,z). Byvoorbeeld, twee punte word in die stelsel gestip in Figure 4, punte P(3,0,5) en Q(−5,−5,7). Die asse word aangedui in 'n wêrel-koördinate orientasie met die z-as wat na bo wys.

Die x-, y-, en z-koördinate van 'n punt kan ook as die afstande van die yz-vlak, xz-vlak, en xy-vlak onderskeidelik geneem word. Figure 5 wys die afstande van punt P van die vlakke.

Fig. 4 - Driedimensionele Cartesiese koördinatestelsel met y-as wat weg van die waarnemer wys.
Fig. 5 - Driedimensionele Cartesiese koördinatestelsel met die x-as wat na die waarnemer wys.


  1. , , besoek op 23 Februarie 2008

Publikasie datum: September 26, 2021

cartesiese, koördinatestelsel, wiskunde, word, gebruik, elke, punt, vlak, uniek, bepaal, deur, twee, getalle, gewoonlik, koördinaat, koördinaat, punt, koördinate, definieer, word, twee, gerigte, lyne, loodreg, mekaar, abscissa, ordinaat, sowel, eenheid, lengte. In wiskunde word die Cartesiese koordinatestelsel gebruik om elke punt in n vlak uniek te bepaal deur twee getalle gewoonlik die x koordinaat en die y koordinaat van die punt Om die koordinate te definieer word twee gerigte lyne loodreg met mekaar die x as of abscissa en die y as of ordinaat sowel as die eenheid lengte wat op die twee asse gemerk word sien Figuur 1 gespesifiseer Cartesiese koordinatestelsels word ook in ruimte waar drie koordinate gebruik word en in hoer dimensies Fig 1 Cartesiese koordinatestelsel Vierr punte word aangedui 2 3 in groen 3 1 in rooi 1 5 2 5 in blou en 0 0 die oorsprong in pers Deur die Cartesiese koordinatestelsel te gebruik kan meetkundige vroms soos krommes deur algebraiese vergelykings wat die koordinate van die punte op die vorm bevredig beskryf word Die sirkel met radius 2 kan beskryf word deur die vergelyking x y 4 sien Figuur 2 Cartesiese verwys na die Franse wiskundige en filosoof Rene Descartes latyns Cartesius wat onder andere werk gedoen het om algebra en Euklidiese meetkunde saam te smelt Die werk was belangrik in die ontwikkeling van analitiese meetkunde analise en kartografie Die idee vir die stelsel is in in 1637 in twee geskrifte deur Descartes ontwikkel In deel twee van sy Discours de la methode die nuwe idee ingevoer waarvolgens die posisie van n punt of voorwerp op n oppervlak gespesifiseer word deur twee asse wat mekaar sny as meetgidse te gebruik In La Geometrie het hy die konsepte verder ontwikkel Fig 2 Cartesiese koordinatestelsel met die sirkel van radius 2 met die middelpunt by die oorsprong in rooi aangedui Die vergelyking van die sirkel is x y 4 Twee dimensionele koordinatestelsel WysigDie snydingspunt waar die asse ontmoet word die oorsprong gewoonlik aangedui as O genoem Die x as is die horisontale as wat gewoonlik na regs georienteer is In driedimensies word die x y en z asse gewoonlik gerangskik om n regterhandse koordinaatslesel te vorm 1 In Fisika en Sterrekunde word die as soms die abscissa genoem Die term word egter meer algemeen gebruik om na die koordinate langs die x as te verwys 1 Die x en y asse definieer n vlak wat die xy vlak genoem word Gegee elke as kies n eenheiids lengte en merk elke eenheid op die as om n rooster te vorm Om n besondere punt te spesifiseer in n tweedimensionele koordinatestelsel dui die x eenheid eerste aan abscissa gevolg deur die y eenheid ordinaat in die vorm x y n geordende paar Fig 3 Die vier kwadrante van n Cartesiese koordinatestelsel Die pyle op die asse dui aan dat dit vir ewig uitstrek in hulle onderskydelike rigtings i e oneindiglik Die keuse van letters kom van n konvensie om die einde van die alfabet te gebruik om onbekende waardes aan te dui In teenstelling hiermee word die begin van die alfabet gebruik om bekende waardes aan te dui n Voorbeeld van n punt P op die stelsel word in Figuur 3 aangedui deur die koordinate 3 5 te gebruik Die snyding van die twee asse skep vier gebeide wat kwadrante genoem word aangedui deur die Romeinse syfers I II III en IV Volgens konfensie word die kwadrante anti kloksgewys gemerk deur by die regter boonste noordoos kwadrant te begin In die eerste kwadrant is beide koordinate positief in die tweede kwadrant x koordinate negatief en y koordinate positief in die derde kwadrant is beide koordinate negatief en ins die vierde kwadrant is x koordinate positief en y koordinate negatief kyk onderstaande tabel Kwadrant x waardes y waardesI gt 0 gt 0II lt 0 gt 0III lt 0 lt 0IV gt 0 lt 0Driedimensionele koordinatestelsel WysigDie driedimensionele koordinatestelsel verskaf die drie fisiese dimensies van ruimte hoogte wydte en lengte Figure 4 en 5 onder wys twee algemene maniere om die driedimensionele koordinatestelsel voor te stel Die koordinate in n driedimensionele stelsel het die vorm x y z Byvoorbeeld twee punte word in die stelsel gestip in Figure 4 punte P 3 0 5 en Q 5 5 7 Die asse word aangedui in n werel koordinate orientasie met die z as wat na bo wys Die x y en z koordinate van n punt kan ook as die afstande van die yz vlak xz vlak en xy vlak onderskeidelik geneem word Figure 5 wys die afstande van punt P van die vlakke Fig 4 Driedimensionele Cartesiese koordinatestelsel met y as wat weg van die waarnemer wys Fig 5 Driedimensionele Cartesiese koordinatestelsel met die x as wat na die waarnemer wys Verwysings Wysig 1 0 1 1 WolframMathWorld x Axis besoek op 23 Februarie 2008Ontsluit van https af wikipedia org w index php title Cartesiese koordinatestelsel amp ol,